Les maths comme je les aime 

... et comme je les raconte ! 🙂 

Philippe Colliard
           
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Mes livres sont à la

(Re)construire les maths en partant d’aussi bas que possible, progresser aussi loin que j’en serais capable

aprĂšs « donc d’aprĂšs » je croyais ĂȘtre vaccinĂ©
– il faut dire que lĂ , j’avais creusĂ© vraiment trĂšs profond !

Eh bien non, la fiùvre m’a repris. Mais une fiùvre plus raisonnable : ici je ne "fais" pas des maths, je les raconte

ou plus modestement je raconte les maths telles que je les ressens, des maths Ă  juste lire, Ă ... savourer ?

Actuellement une quinzaine d’épisodes progresse tranquillement sur le chemin de ces maths, illustrĂ©s de quelques histoires farfelues et accompagnĂ©s des commentaires de tout un petit monde de lectrices et lecteurs virtuels.

D’autres lectrices et lecteurs (rĂ©els, ceux-lĂ ) suivent ce site, en France... et ailleurs. Certain(e)s en souhaitaient une version livre et c’est fait : un premier recueil (juste Ă  gauche) regroupe les textes publiĂ©s avant novembre 2024.

Il y aura – je l’espĂšre – d’autres Ă©pisodes, d’autres histoires farfelues
 d’autres recueils.



Pour lire un Ă©pisode et/ou l’enregistrer, cliquez sur son numĂ©ro

Le dernier Ă©pisode :

Ă©pisode 15

plus bas : tous les Ă©pisodes

  
Ce n’Ă©tait qu’une introduction Ă  la gĂ©omĂ©trie mais 10 ans plus tard, j’en garde toujours un merveilleux souvenir.

Des « quatriÚmes » que je ne connaissais que depuis un mois, durant lequel nous avions travaillé sur les nombres.

Un mois, ce n’est pas beaucoup mais ça suffit pour commencer Ă  savoir travailler ensemble,
Ă  trouver naturel pour ces Ă©lĂšves de n’avoir devant eux,
durant la trentaine de minutes rĂ©servĂ©e au cours stricto sensu, qu’un bloc et un stylo sur leur table.

À trouver Ă©galement naturel de dialoguer entre eux et avec moi, avec toutefois une rĂšgle absolue :
ne jamais couper la parole Ă  qui que ce soit (et tout de mĂȘme, je ne vais pas mentir, m’accorder une certaine prioritĂ©).

Une classe de 30 élÚves, tous actifs, mais pour éviter un foisonnement de prénoms à la Tolstoï
je vais trĂšs arbitrairement attribuer les dialogues de cette reconstitution Ă  cinq d’entre eux


et ne garder parmi les trĂšs nombreuses interventions que les plus significatives,
que ce soit pour la progression ou pour l’ambiance.
. . .

Ă©pisode 0

  
Sans points pas de géométrie
  Mais un point, qu’est-ce que c’est ?

Vous avez déjà regardé les étoiles bien sûr. Vous savez, ces points brillants dans un vide tout noir.

Sauf que justement, ce ne sont pas des points
 (et le vide tout noir n’est ni vraiment vide ni vraiment noir… mais ça, c’est une autre histoire) :

d’abord parce qu’il vous suffit d’embarquer dans n’importe quel vaisseau spatial et d’aller voir une étoile d’un peu plus près
pour vous rendre compte que c’est bien trop gros pour être un point.

Et puis aussi parce qu’un point, c’est un endroit et un endroit, ça ne brille pas.

Mais c’est vrai que les étoiles, vues de loin – de très loin, de plus loin que loin – on dirait des points…
enfin, si les points brillaient !
. . .

Ă©pisode 1

  
Le point, toujours le point. Oui, j'ai un cÎté monomaniaque !

Mais cette fois-ci, il est au cƓur du premier chapitre d'une histoire Ă©crite pour ma fille
lorsqu'elle Ă©tait en cinquiĂšme, il y a une vingtaine d'annĂ©es.

Soyez indulgent(e)s !
. . .

Ă©pisode 1a

  
Ma toute premiĂšre histoire sur le point,en 1993 ! Elle est idiote mais je l’adore.
(Ensuite promis, je passe à autre chose ! Mais le point méritait bien trois articles, non ?)
. . .

Ă©pisode 1b

  
Bon, clairement, écrire sur la ligne... ça en prend plus d'une !

Maintenant que nous savons ce qu’est un objet ponctuel – et ce qu’est un point – nous allons pouvoir passer
à la question suivante :

qu’est-ce qu’une ligne ?

(Nooooon, ce n’est pas un trait, pas plus qu’un point n’est une tache !)
. . .

Ă©pisode 2

  
Pourquoi me suis-je tellement attardé sur l’objet ponctuel, le point, la ligne ?

Parce que ce sont les éléments de base de la géométrie, bien sûr…
mais tout particulièrement parce que ce sont les « parents » de la droite.

Et sans droite, la géométrie euclidienne n’irait pas bien loin !

Comment dites-vous ? La droite, c’est facile, c’est une ligne qui va tout droit ?

Soupir : d’abord une ligne c’est un endroit, ça ne va nulle part

et ensuite un objet qui « va tout droit », qu’est-ce que ça veut dire ?

Dans notre univers physique, Ă  part les photons,
il n’y a pas beaucoup d’objets qui vont toujours tout droit
(et mĂȘme les photons peuvent dĂ©vier) !
. . .

Ă©pisode 3

  
Incontournable, le plan ?

Oui, parce qu’il est l’un des trois Ă©lĂ©ments de base de la gĂ©omĂ©trie d’Euclide
(et 22 siĂšcles plus tard de Hilbert) : le point, la droite, le plan !

Ce que j’ai Ă©crit pour la droite, c’est tout aussi vrai pour lui : sans lui, la gĂ©omĂ©trie euclidienne n’irait pas bien loin !
(Sans le point non plus, bien sĂ»r mais ça, si aprĂšs tous les Ă©pisodes prĂ©cĂ©dents vous n’en ĂȘtes pas persuadĂ©(e)s, j’abandonne !)

Mais le plan est incontournable pour une autre raison Ă©galement
 j’y reviendrai bientĂŽt. 

Bon, si nous commencions par le commencement ?
Pour inventer le plan, nous allons avoir besoin des droites (ça, c’Ă©tait l’Ă©pisode /3)
 et des surfaces.

Je ne vous ai encore rien racontĂ© sur les surfaces et je n’ai pas trop envie d’y consacrer tout un Ă©pisode
alors vous voulez bien qu’on se contente d’un paragraphe 0 dans cet Ă©pisode-ci ? C’est parti !

– Eh, pourquoi vous nous demandez notre avis si vous n’attendez mĂȘme pas notre rĂ©ponse ? Mais oui d’accord, nous voulons bien !

– Merci
 et vous avez raison, j’aurais dĂ» l’attendre ! Je veux toujours aller trop vite !
. . .

Ă©pisode 4

  
J’ai entendu vos soupirs et vos murmures :

– vous nous
 euh, fatiguez avec votre gĂ©omĂ©trie, vos points, vos points, vos points !
On veut des vraies maths, des maths avec des nombres partout !


Bon, d’accord, on va s’attaquer aux nombres. À tous les nombres, des entiers aux complexes.
Et aux structures numériques qui vont avec.

Évidemment, ça va prendre un peu de temps et quelques articles. Mais qui est pressĂ© ?

Les nombres, nous allons les débusquer ensemble, les amener petit à petit à la lumiÚre
alors que tout ce qu’ils souhaitent, eux, c’est qu’on les laisse tranquilles, chacun dans son point.

– Dans son quoi ? Vous voulez dire « dans son coin » ?
. . .

Ă©pisode 5

  
Oui, encore une histoire !

(Avez-vous remarqué que les logos des histoires sont sur fond « or »
et que ces histoires sont associĂ©es Ă  l’article qu’elles illustrent
par l’ajout d’une lettre – a, b
 – au numĂ©ro de l’article ?)

J’avais dĂ©jĂ  crĂ©Ă© un lien vers cette histoire dans mon article sur « les harpes de ThalĂšs »,

Ă©videmment Ă  propos de l’Ă©criture des nombres entiers
 mais il m’a semblĂ© qu’elle
avait encore davantage sa place ici, avec le statut « les maths comme je les aime » !

Elle n’a naturellement d’intĂ©rĂȘt qu’en complĂ©ment de l’article 4 !

Pour la (toute petite) histoire Hi-Ati est la premiĂšre histoire que j’ai « vendue », en... 1980
(et non, elle ne m’a pas rendu millionnaire !)
. . .

Ă©pisode 5a

  
Non, bien entendu, ça ne s'est PAS passé comme ça !

"Hi-Ati , ou la création des dizaines"

est la seconde histoire que j'ai composĂ©e sur le modĂšle des " Histoires comme ça " de Kipling

mais sans son talent !

Ce ne sont que des histoires
mais elles m’ont trĂšs longtemps permis d’introduire la numĂ©ration.

Soyez indulgent(e)s !
. . .

Ă©pisode 5b

  
Vous vous rappelez le robot-arpenteur de l’Ă©pisode prĂ©cĂ©dent (/4 Et si les nombres n’Ă©taient que des noms ? ) ?

Le lointain cousin de l’allumeur de rĂ©verbĂšres du Petit Prince qui, comme lui, allume sans se poser de questions,
parce que c’est la consigne.

Sauf que lui, bien sĂ»r, il n’allume et n’Ă©teint pas constamment le mĂȘme rĂ©verbĂšre (jour, nuit
 jour, nuit
),
il passe son Ă©ternitĂ© Ă  allumer des points diffĂ©rents d’une mĂȘme droite.

Des points que j’ai appelĂ©s « points-entiers ».

Ah non, ne commencez pas Ă  chicaner, nous savons trĂšs bien, vous et moi, qu’on ne peut pas allumer un point.
Parce qu’un point, ce n’est qu’un endroit : l’arpenteur, « allume » un point en lui introduisant un objet ponctuel brillant.

(Je suis peut-ĂȘtre un peu grognon ces temps-ci, ça doit ĂȘtre l’Ăąge
 alors excusez-moi si je m’Ă©nerve Ă  tort :
peut-ĂȘtre n’avez-vous vraiment pas lu l’Ă©pisode 5. En ce cas, s’il vous plaĂźt, lisez-le : cet Ă©pisode en est la suite !)
. . .

Ă©pisode 6

  
Maintenant que j’ai dĂ©busquĂ© les « points rationnels » (et leurs alter ego, les nombres rationnels)
d’une graduation gĂ©omĂ©trique de d, j’ai deux progressions possibles :

ou bien creuser encore d Ă  la recherche de points qui seraient encore Ă©teints
(non, ne riez pas, vous vous rappelez : nous allons faire comme si
 !)

Ou bien au contraire prendre un peu d’altitude, dĂ©cider qu’un point de d est un point de d,
que je l’aie allumĂ© ou pas, et « inventer » des mĂ©canismes de comparaison puis d’opĂ©rations
entre ces points (et remettre Ă  plus tard la recherche d’Ă©ventuels points Ă©teints de d).

Des mécanismes qui s'appliqueront à tous les points de d :
si plus tard de nouveaux points se
 pointent, ils s’y plieront comme les autres.

[Pourquoi « inventer » entre guillemets ? Parce que j’ai toujours dans ma tĂȘte
cette idée que les points de d  (
et donc les nombres qu’ils traĂźnent avec eux)
ont une vie bien Ă  eux, avec des codes et des lois qui ne dĂ©pendent que d’eux :
je ne fais que les observer en voyeur.  

C’est mĂȘme la lĂ©gende de l’illustration de couverture de mon livre
« mathématiques du cycle 4, tome 1 : nombres et calculs) :

la vie des nombres, en toute indiscrétion.

(et si je ne précise pas que cette magnifique illustration
est l’Ɠuvre de ma fille LaurĂ©line elle va m’en vouloir !)

J’ai dĂ©cidĂ© de privilĂ©gier la deuxiĂšme progression.
(Comme tout choix personnel, celui-ci se discute. Peut-ĂȘtre le ferai-je dans un Ă©pisode  /6a ?)

Donc au menu d’aujourd’hui : comment comparer deux points de d
. . .

Ă©pisode 7

  
Vous pouvez mĂȘme multiplier les points entre eux
 mais ça, ce sera pour le prochain Ă©pisode đŸ˜Š

Bon, aprÚs avoir défini les nombres comme de simples attributs des points,

puis une relation d’ordre entre nombres
comme la simple transcription numĂ©rique d’une relation d’ordre entre points...

n’est-il pas raisonnable de mettre en place une addition entre points
puis de lui associer un alter ego numĂ©rique : l’addition telle que vous la connaissez ?

 Vous allez voir, ça va vraiment se faire tout seul !
. . .

Ă©pisode 8

  
Multiplier des points ???

Oui, mais pas n’importe lesquels :

nous travaillons toujours sur les points de la droite d que j’ai dĂ©finie dans les Ă©pisodes prĂ©cĂ©dents
(cette droite passe par deux points distincts A et B que j’ai allumĂ©s dans un espace tout noir.
J’ai appelĂ© le point A « point origine d’une graduation gĂ©omĂ©trique de d », et le point B « point unitĂ© » de cette graduation).

Bon, cette multiplication entre points va peut-ĂȘtre vraisemblablement vous dĂ©router.

mais vous le verrez, elle est trÚs sérieuse.

LĂ  je vous la prĂ©sente, et ensuite on en discute, d’accord ?

– Oui, d’accord (de toute façon on n’a pas le choix, c’est vous qui Ă©crivez !),
mais c’est pas trĂšs rassurant : dĂ©jĂ  que votre addition entre points Ă©tait un peu
 bizarre ?


Je sais, je sais. Mais rappelez-vous, vous aviez fini par reconnaütre qu’elle tenait la route. On commence ?
. . .

Ă©pisode 9


Bon, je
 (air embarrassĂ©) je n’ai pas Ă©tĂ© trĂšs honnĂȘte :

dans les Ă©pisodes prĂ©cĂ©dents j’ai « inventĂ© » l’objet ponctuel puis grĂące Ă  lui j’ai pu faire apparaĂźtre les premiers Ă©lĂ©ments de la gĂ©omĂ©trie :
le point, la ligne, la surface (et ensuite, en m’appuyant sur eux, les nombres – tout au moins jusqu’aux nombres rationnels) !

Mais cette gĂ©omĂ©trie, je l’ai arrĂȘtĂ©e, je l’ai cantonnĂ©e au plan, et ça ce n’est pas bien !Pourquoi ?

Parce que nous ne sommes pas des animaux tout plats, rampant parmi les points d’un plan ;
parce que nous sommes Ă©quipĂ©s d’origine d’un systĂšme optique stĂ©rĂ©o conçu pour fonctionner dans l’espace ;
parce que le contraindre Ă  n’observer l’espace qu’Ă  travers des projections planes (dessins, photos, vidĂ©os
) ce n’est pas bien !

– Mais pourquoi ce ne serait pas bien ? Avec tous les logiciels 3D qu’on a maintenant ?

Euh, parce que ce ne sont PAS des logiciels 3D, justement, ce sont des logiciels de simulation 3D !
Ils trichent avec vos yeux
 ou plutît ils trichent avec votre cerveau,
ils lui demandent d’interprĂ©ter les informations que vos yeux lui envoient comme du 3D.
De dĂ©former ces informations parce qu’Ă  la base votre cerveau sait trĂšs bien que ce n’est pas du 3D :
en 3D vos deux yeux ne verraient pas la mĂȘme chose !

– D’accord, mais si ces logiciels nous aident Ă  travailler sur des objets 3D, qu’est-ce que ça peut faire ?
. . .

Ă©pisode 10


« À l’origine » parce qu’avec les vecteurs, les surfaces gauches, les gĂ©omĂ©tries sphĂ©rique, elliptique, hyperbolique

les choses se sont rapidement corsées.

Mais Ă©galement « Ă  l’origine » parce qu’une fois inventĂ©s les concepts de point, droite et plan l’angle Ă©tait inĂ©vitable.

Remontons le temps : l’humanitĂ© vient de dĂ©couvrir la gĂ©omĂ©trie, cet univers hyper simplifiĂ© qui se passe dans notre tĂȘte.
Un univers de points, de lignes, de surfaces et de « solides » qui ne le sont pas, un univers d’endroits.

– Attendez, pourquoi vous dĂźtes « hyper simplifiĂ© » ? Vous le trouvez simple, vous ?

Non, mais comparĂ© Ă  notre univers physique c’est un jouet de bambin(e)s

bon, j’en ai dĂ©jĂ  parlĂ© dans l’épisode prĂ©cĂ©dent (Nous avons tou(te)s besoin d’espace !),
je ne voudrais pas vous donner l’impression de radoter !

Toutefois, mĂȘme hyper simplifiĂ© cet univers est illimitĂ© et lĂ , ça me pose un problĂšme
parce qu’illustrer des concepts illimitĂ©s par des dessins qui ne le sont pas, c’est un peu compliquĂ© !

Alors je vais imaginer que j’arrive Ă  voir cet univers « du dehors » comme une sorte de boule dont je ne ferais pas partie
(et non, ne me demandez pas OÙ je serais, d’accord ! Ni oĂč VOUS seriez !)
. . .

Ă©pisode 11

 

Tout est une question de lunettes : vous regardez un objet, avec certaines lunettes vous y voyez un nombre,
avec d’autres lunettes vous y voyez un point ... ou autre chose !

Si à l’Ɠil nu vous voyez un entier naturel,
avec les lunettes que je vous propose aujourd'hui vous verrez son « spectre ».

– Un entier naturel ? Comme 0, 1, 2, 3
 ? Mais on les a dĂ©jĂ  vus Ă  l’épisode /5 !
On a quand mĂȘme dĂ©passĂ© ce stade, non ?


Euh
 oui et non : si vous voulez dire qu’on a dĂ©passĂ© le stade de l’école primaire, bien sĂ»r qu’on l’a dĂ©passĂ©.
Mais ce que je voudrais partager avec vous aujourd’hui c’est autre chose,
quelque chose que vous n’avez vraisemblablement pas dĂ©passĂ© – et moi non plus
parce que c’est Ă  mon avis la branche la plus Ă©trange et l’une des plus difficiles des maths : l’arithmĂ©tique.

– L’arithmĂ©tique ? Le calcul avec des nombres entiers ? C’est Ă©trange et difficile, ça ?
Vous venez vous-mĂȘme de dire qu’on avait dĂ©passĂ© le stade de l’école primaire



Bon, ce n’est pas vraiment tout Ă  fait la mĂȘme arithmĂ©tique,
au dĂ©but de l’école primaire on apprend Ă  calculer avec vos 0, 1, 2, 3

mais c’est Ă  peine la surface de l’arithmĂ©tique, il faut bien commencer, non ?
Dùs qu’on creuse ça se complique.
Pas dans les questions qu’on se pose, la plupart semblent incroyablement simples
– mais les rĂ©ponses, c’est autre chose :
des mathématiciens remarquables ont passé des années à réfléchir à ces questions,
ils les ont retournĂ©es dans tous les sens et pourtant certaines n’ont toujours pas de rĂ©ponse.

– Juste avec des 0, 1, 2, 3
 ?

Juste avec des entiers naturels, oui.
. . .

Ă©pisode 12

 

Ça, c’est l’histoire que je vous avais promise Ă  la fin de l’Ă©pisode /12.

Qu’arriverait-il si la rĂ©ponse Ă  la question

«
y a-t-il une logique dans la suite des entiers premiers
(ou : peut-on, en observant les premiers entiers premiers, dire qui sera le suivant ?) »

Ă©tait oui ?


Mais pas de panique n’est-ce pas, ce n’est qu’une histoire
 enfin, je l’espĂšre !

. . .

Ă©pisode 12a

 

– Vous appelez ça « raconter Â» les maths ? Le thĂ©orĂšme de Pythagore ?? Le carrĂ© de l’hypotĂ©nuse bla-bla-bla ???

Euh
 « le carrĂ© de l’hypotĂ©nuse bla-bla » c’est « Ă©noncer » le thĂ©orĂšme de Pythagore,
PAS le raconter donc non, ce n’est pas du tout ce que j’ai en tĂȘte :
je voudrais creuser avec vous sous le théorÚme,
imaginer l’Ă©tincelle qui a pu conduire Euclide et PĂłlya Ă  le dĂ©montrer.

Pourquoi eux ?

Euclide parce qu’il semble ĂȘtre le premier Ă  avoir dĂ©montrĂ© ce thĂ©orĂšme
et Pólya parce que je trouve sa démonstration merveilleusement limpide.
Et parce qu’ils sont partis de la mĂȘme idĂ©e – mĂȘme si leurs chemins diffĂšrent ensuite rapidement –
et je me suis longtemps demandé comment elle leur était venue.

Et aussi parce que je voudrais vous entendre, Ă  la fin de ces pages, vous exclamer « bon sang mais c’est bien sĂ»r ! »
(comme Charolles, l’adjoint du commissaire Bougret dans la rubrique-Ă -brac  de Gotlib – ça ne me rajeunit pas !)

Parce qu’en rĂ©alitĂ© ce thĂ©orĂšme, c’est une Ă©vidence quand on tire sur le bon fil pour le dĂ©tricoter.
😊😊
. . .

Ă©pisode 13



 

En travaillant sur une  graduation gĂ©omĂ©trique d’une droite d dont Ă  l’origine tous les points Ă©taient « Ă©teints »,

l’Ă©pisode 5
en avait « allumĂ© » les points-entiers (Ă  l’aide d’un robot-arpenteur)
et l’Ă©pisode 6 les autres points-rationnels (Ă  l’aide des harpes de ThalĂšs).

J’avais conclu cet Ă©pisode 6 par :

Avons-nous achevĂ© d’allumer la droite d ?
Non, loin de là (et vous le savez, bien sûr) mais comme le dirait Kipling, ceci est une autre histoire :
les points et les nombres irrationnels apparaütront en temps voulu
 et ce temps est encore loin
(je ne voudrais pas ĂȘtre dĂ©sobligeant pour eux mais pour l’instant nous pouvons tout Ă  fait nous en passer)

Le temps est enfin venu d’enrichir cet Ă©clairage de la droite, d’en allumer quelques points irrationnels.
Pourquoi maintenant ? Parce que l’Ă©pisode 12 (les spectres) et l’Ă©pisode 13 (le thĂ©orĂšme « de Pythagore »)
m’ont apportĂ© les deux outils qui me manquaient encore pour m’y atteler.
. . .

Ă©pisode 14

 

Y a-t-il autant de points dans un segment de 8 cm que dans un segment de 5 cm ?
Le « bon sens » (ça se voit !) nous dit que non puisqu’il faut prolonger le petit segment pour obtenir le grand.

Mais le « bon sens » se trompe et j’avais montrĂ© pourquoi dans l’épisode /1 « Le POINT de dĂ©part ! ».

Le problĂšme du « bon sens » c’est qu’il s’appuie sur des visions parfois trop Ă©troites,
mais accepter de les Ă©largir n’est pas toujours facile :

Galilée,
« E pur si muove! (et pourtant elle tourne !) », ça vous rappelle quelque chose ?

Et si maintenant je vous affirmais qu’il y a autant de points dans un segment microscopique que dans tout l’univers,
quelle serait votre réaction ?

– Franchement ? Ça serait de hocher la tĂȘte avec tristesse et de nous dire « ça y est, il a craquĂ© ! »
😁
. . .

Ă©pisode 15